Metoda Jacobi

1. Tema

Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare prin metoda Jacobi.

Un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute are forma Ax=b, unde A este o matrice pătrată, nesingulară, de dimensiune nxn, iar x și b sunt vectori coloană de dimensiune n.

2. Metoda

Considerăm aproximația inițială  un element din Rⁿ, unde indicele superior reprezintă etapa.

Construim șirul  definit prin formula de recurență:

Utilizăm verificarea condiției

pentru convergența șirului.

3. Exemplu

Să se rezolve folosind metoda iterativă Jacobi, sistemul:

Rezolvare

Matricea A asociată sistemului (în etapa 1) și vectorul termenilor liberi b sunt:

Șirul de recurențe pentru soluție este:

4. Algoritmul

Algoritmul asociat metodei Jacobi este:

Intrări:

• n = numărul de ecuații și necunoscute ale sistemului
• A = matricea sistemului
• b = vectorul termenilor liberi
• y = aproximația anterioară a soluției
• ε = precizia

Ieșiri:

• x = aproximația soluției

5. Implementare

Cod Sursa C++

// Metoda Jacobi pentru rezolvarea sistemelor
 
#include "stdafx.h"
#include 
 
using namespace std;
 
#define max 10
 
void main(void)
{
	float s, s1, eps;
	float a[max + 1][max + 1], b[max + 1], x[max + 1], y[max + 1];
	int n, i, j;
	cout << "dati numarul de ecuatii si necunoscute " << endl; 	cin >> n;
	cout << "dati matricea sistemului " << endl;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	for (j = 1; j <= n; j++)
	{
		cout << "a[" << i << j << "]=";
		cin >> a[i][j];
	}
	cout << endl;
	cout << "dati vectorul termenilor liberi " << endl;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		cout << "b[" << i << "]=";
		cin >> b[i];
	}
	cout << endl;
	cout << "dati aproximatia initiala a solutiei " << endl;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		cout << "x[" << i << "]=";
		cin >> y[i];
	}
	cout << endl;
	cout << "dati eroarea " << endl; cin >> eps; cout << endl;
	s = eps + 1;
	while (s >= eps)
	{
		for (i = 1; i <= n; i++)
		{
			s1 = 0;
			for (j = 1; j <= n; j++)
			if (j != i)s1 = s1 + a[i][j] * y[j]; x[i] = (b[i] - s1) / a[i][i];
		}
		s = 0;
		for (i = 1; i <= n; i++)
			s = s + abs(x[i] - y[i]);
		for (i = 1; i <= n; i++)
			y[i] = x[i];
	}
	cout << "Solutia aproximativa este " << endl;
	for (i = 1; i <= n; i++)
		cout << x[i] << endl;
	system("pause");
}

Rezultat