Fractalul Mandelbrot

Mulțimea Mandelbrot este o mulțime de numere complexe c, astfel încât dacă iterăm funcția z=z^2+c, aceasta nu merge la infinit (începând cu z=0).

Mulțimea Mandelbrot se calculează astfel:
– pentru fiecare pixel c, începând cu z=0, se repetă z=z^2+c de N ori
– aceasta va eșua dacă magnitudinea lui z devine tot mai mare
– daca s-a terminat iterația, punctul probabil se află în interiorul mulțimii Mandelbrot; în caz contrar, punctul se află în exterior și va fi colorat în funcție de cât de multe iterații au fost efectuate
– Se eșuează dacă |z|>2, și ecuația va duce la infinit
– Numărul maxim de iterații, N, poate fi ales cât se dorește, de exemplu 100; cu cât N este mai mare, cu atât graficul va fi mai detaliat, dar va lua mai mult timp pentru a fi trasat.

De ce se începe cu z=0 ?

Zero este punctul critic a ecuației z^2+c, un punct unde d/dz (z^2+c) = 0. Dacă înlocuim z^2+c cu o altă funcție, valoarea de start va trebui să fie modificată. De ex. pentru z->z^2+z+c, punctul critic este dat de 2z+1, deci se va începe cu z=-1/2. Punctele critice sunt importante pentru că orice ciclu de atracție pentru o funcție polinomială sau rațională atrage cel puțin un punct de atracție. Deci testând punctele critice se arată dacă există orice ciclu de atracție stabil.

Care sunt marginile mulțimii ? Când diverg acestea ?

Mulțimea Mandelbrot se obține pentru valoare |z|<=2.
Daca |z| depășește 2, ecuația va diverge.
(daca |z|>2, atunci |z^2+c|>= |z^2|-|c|> 2|z|-|c|. Daca |z|>=|c|, atunci 2|z|-|c|> |z|; deci , daca |z|>2 si |z|>=c, |z^2+c|>|z|, astfel secvența crește)

Cum se realizează desenul?

Pentru a obține o imagine bidimensionala nu sunt dificultăți deoarece numerele complexe sunt bidimensionale. Ele constau din doua părți: una reală și una imaginară. Numerele complexe sunt desenate într-un sistem de coordonate cartezian, unde pe axa x este reprezentată partea reală a numărului, iar pe axa y partea imaginară a numărului. Aceasta se face atunci când se desenează mulțimea Mandelbrot. Desenăm numerele complexe într-un sistem de coordonate cartezian: daca c aparține mulțimii, desenăm punctul (în culoare neagră), la locația respectivă, în caz contrar nu (sau cu o altă culoare, în funcție de numărul de iterații).

Implementare

Cod Sursa JAVA

/**  *  * @version 1.0, DATE: 8.17.96  * @author Paul Santa Maria  */ import java.applet.*; import java.awt.*;              // User Interface components // // MandelPlot: Implements Mandelbrot plot // class MandelPlot extends Canvas {   private int maxcol = 399, maxrow = 399, max_colors = 8,         max_iterations = 512, max_size = 4;   private Color cmap[];   private void plot (Graphics g, int x, int y, int color_index)   {     g.setColor (cmap[color_index]);     g.drawLine (x,y, x,y);   }   // MandelPlot display image constructor   public MandelPlot ()   {      cmap = new Color[max_colors];      cmap[0] = Color.black;      cmap[1] = Color.red;      cmap[2] = Color.green;      cmap[3] = Color.blue;      cmap[4] = Color.cyan;      cmap[5] = Color.magenta;      cmap[6] = Color.yellow;      cmap[7] = Color.white;   }   // paint: actually draws the Mandelbrot set   public void paint (Graphics g)   {      float Q[] = new float[400];      double Pmax = 1.75,Pmin = -1.75, Qmax = 1.5, Qmin = -1.5,         P, deltaP, deltaQ, X, Y, Xsquare, Ysquare;      int color, row, col;      deltaP = (Pmax - Pmin)/(double)(maxcol - 1);      deltaQ = (Qmax - Qmin)/(double)(maxrow - 1);      for (row=0; row<=maxrow; row++) {        Q[row] = (float)(Qmin + row*deltaQ);      }      for (col=0; col<=maxcol; col++) {        P = Pmin + col*deltaP;        for (row=0; row<=maxrow; row++) {          X = Y = 0.0;          color = 0;          for (color=0; color<max_iterations; color++) {            Xsquare = X*X;            Ysquare = Y*Y;            if ((Xsquare+Ysquare) > max_size)              break;            Y = 2*X*Y+Q[row];            X = Xsquare-Ysquare+P;          }          plot (g, col, row, (int)(color % max_colors));        }      }   } }

---

import java.applet.Applet; import java.awt.BorderLayout; import java.awt.Event; // // Mandel1: sample program "main" // public class Mandel1 extends Applet {   private MandelPlot canvas;   // Mandel: Frame constructor   public void init ()   {      setLayout (new BorderLayout());      canvas = new MandelPlot ();      add ("Center", canvas);    }   // handleEvent: give us a way to gracefully exit the program   public boolean handleEvent (Event evt)   { if (evt.id == Event.WINDOW_DESTROY)         System.exit (0);      return false;   } }

Rezultat: